Альберт и его Теория

Общая теория относительности

Теория тяготения

Опыты подтвержд ОТО

Специальная теория относительности

Сила Лоренца

Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном поле в некоторой инерциальной системе K, называется силой Лоренца и записывается в виде

${\bf F}=e{\bf E}+\frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] ,$ (1)

где e — заряд частицы, v — её скорость. Это выражение можно также считать определением электрического и магнитного полей в системе K. С помощью этой формулы уравнение движения частицы в поле в нерелятивистской механике можно записать в виде:

$\frac{d{\bf p}}{dt}=e{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] .$ (2)

Релятивистская форма уравнений движения

Наша задача сейчас — записать это уравнение, как говорят, в ковариантной форме, в которой оно было бы справедливо в любой инерциальной системе отсчета, т.е. представляло бы собой равенство двух 4-векторов. Первое, что надо сделать для перехода в релятивистскую область, это считать p в этом уравнении пространственной компонентой 4-импульса:

${\bf p}=\frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}= m{\bf v} .$ (3)

Или, что то же самое, считать массу частицы, зависящей от её скорости обычным образом.

Оказывается, что этого изменения достаточно для того, чтобы это уравнение описывало и движение частиц со скоростями, близкими к скорости света. Конструкторы современных ускорителей при своих расчетах опираются именно на это уравнение. На этом можно было бы поставить точку. Но постойте, скажете вы. Ведь величина dp/dt не представляет собой пространственной компоненты какого-либо 4-вектора. А про правую часть мы вообще ничего не можем сказать, т.е. не знаем, как преобразуются поля E и H при переходе к другой инерциальной системе отсчета.

Поэтому давайте попытаемся представить это уравнение как равенство двух 4-векторов. Мы увидим, что эта затея принесет нам много интересной и полезной информации и позволит сделать важные выводы о единстве и различие электрического и магнитного полей. Разберемся для этого сначала с левой частью. Итак, dp/dt нас не устраивает. Исходя из имеющегося у нас опыта было бы лучше иметь вместо этого dp/ds. Тогда это будет пространственная компонента некоторого 4-вектора, поскольку $ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$ — это скалярная величина в геометрии Минковского. Таким образом,

$\frac{d{\bf p}}{ds}= \frac{d{\bf p}}{cdt\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{c\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}}\frac{d{\bf p}}{dt} .$ (4)

Величину dp/dt в этом равенстве можно заменить на силу Лоренца. Тогда получим

$\frac{d{\bf p}}{ds}=\frac{1}{c\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} \left(e{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf v}\times{\bf H}] \right) = \frac{e}{c}u^0{\bf E} + \frac{e}{c}[{\bf u}\times{\bf H}] ,$ (5)

где мы ввели в игру 4-скорость

$u^i=(u^0, {\bf u})= \left(\frac{1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{{\bf v}}{c\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) .$ (6)

Таким образом, слева у нас стоит пространственная компонента 4-вектора. Значит, справа тоже. Её можно считать пространственной компонентой 4-силы f. Интересной особенностью этой величины является то, что она, как следует из выражения (5), — линейна по 4-скорости частицы uⁱ. А линейная связь между двумя 4-векторами всегда может быть представлена в виде тензорного равенства

$g^i=\frac{e}{c}F^i_{ k}u^k ,$ (7)

где коэффициенты пропорциональности представляют собой компоненты 4-тензора II ранга Fⁱ_k.

Тензор электромагнитного поля

В такой форме эти компоненты зависят только от проекций электрического и магнитного поля E и H. Давайте найдем эти компоненты! Исходить будем из условия, что ковариантная форма уравнений движения имеет вид:

$\frac{dp^i}{ds}=f^i=\frac{e}{c}F^i_{ k}u^k$ (8)

(мы убедились в этом для значений i = 1,2,3, соответствующих пространственным компонентам). Так, с одной стороны

$\frac{dp^1}{ds}=\frac{e}{c}F^1_{ k}u^k = \frac{e}{c} \left(F^1_{ 0}u^0 + F^1_{ 1}u^1 + F^1_{ 2}u^2 + F^1_{ 3}u^3 \right) .$ (9)

С другой стороны из уравнение 5

(10)

С учетом, что u_y≡ u^z, а u_z≡ u³ и сравнивая уравнения 9 и 10, получаем

F¹₀ = E_x , F¹₁ = 0 , F¹₂ = H_z , F¹₃ = –H_y . (11)

Аналогичным образом, сравнивая проекции на оси y и z уравнений (5) и (8), получаем две дополнительных цепочки равенств

F²₀ = E_y , F²₁ = –H_z , F²₂ = 0 , F²₃ = H_x , (12)

F³₀ = E_z , F³₁ = H_y , F³₂ = –H_x , F³₃ = 0 . (13)

Таким образом, у нас есть выражения для всех компонент тензора Fⁱ_k, за исключением 4-х компонент F⁰₀, F⁰₁, F⁰₂ и F⁰₃.

Найдем эти компоненты, воспользовавшись законом сохранения энергии. Поскольку временная компонента 4-импульса $p^0={\cal E}/c$ , то

$\frac{dp^0}{ds}=\frac{1}{c^2\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} \frac{d{\cal E}}{dt} .$ (14)

С другой стороны,

$\frac{d{\cal E}}{dt}=\frac{d{\cal E}}{d{\bf p}}\cdot\frac{d{\bf p}}{dt}= {\bf v}\cdot\frac{d{\bf p}}{dt}= e{\bf E}\cdot{\bf v} ,$ (15)

т.е. изменение энергии частицы в единицу времени равно работе силы в единицу времени. Член с магнитным полем вклада не дает, поскольку v·[v×H] = 0, т.е. магнитное поле работу над частицей не производит. Поэтому

$\frac{dp^0}{ds}=\frac{1}{c^2\sqrt{\displaystyle 1- \frac{v^2}{c^2}}} e{\bf E}\cdot{\bf v} = \frac{e}{c}{\bf E}\cdot{\bf u}=\frac{e}{c}\left(E_xu^1+E_yu^2+E_zu^3 \right).$ (16)

Сравнивая это с

(17)

находим недостающие 4 компоненты

F⁰₀ = 0 , F⁰₁ = E_x , F⁰₂ = E_y , F⁰₃ = E_z . (18)

В итоге тензор Fⁱ_k можно представить в виде

$F^i_{ k} = \left( \begin{array}{cccc} 0& E_x& E_y & E_z\\ E_x& 0& H_z & -H_y\\ E_y& -H_z& 0 & H_x\\ E_z & H_y & -H_x & 0 \end{array} \right) .$ (19)

Наиболее употребительная запись этого тензора через контрвариантные компоненты. Поднимая по известному правилу 2-ой индекс, получим

$F^{ik} = \left( \begin{array}{cccc} 0& -E_x& -E_y & -E_z\\ E_x& 0& -H_z & H_y\\ E_y& H_z& 0 & -H_x\\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{array} \right) .$ (20)

Этот антисимметричный 4-тензор II ранга называется тензором электромагнитного поля. С его помощью уравнение движения можно представить в ковариантном виде

$\frac{dp^i}{ds}=\frac{e}{c}F^{ik}u_k .$ (21)

Таким образом, мы видим, что требование ковариантности уравнений движения приводит нас к выводу о том, что электрическое и магнитное поле являются компонентами антисимметричного 4-тензора II ранга F^ik. Можно сказать, что этот результат демонстрирует единство электрического и магнитного полей.

Можно спросить: ну, а какая от этого польза? Польза довольно очевидна. Зная, как преобразуются компоненты 4-тензора при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы можем вывести отсюда формулы преобразования для электрического и магнитного полей, связывающие эти величины в разных инерциальных системах отсчета.

Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля

Рассмотрим, как и ранее, две системы отсчета K и K' с параллельными осями координат, причем система K' движется со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. В лекции 20 мы вывели формулу (26) для преобразования компоненты произвольного тензора II ранга A⁰¹. Воспользовавшись ей, находим закон преобразования компоненты F⁰¹

$F^{01} = \frac{\displaystyle F^{\prime 01} + \frac{V}{c}F^{\prime 11} + \frac{V}{c}F^{\prime 00} + \frac{V^2}{c^2}F^{\prime 10}} {\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}} = F^{\prime 01} ,$ (22)

т.е. эта компонента не меняется. При выводе мы пртняли во внимание факт антисимметричности тензора F^ik, а именно то, что F^' 11 = F^' 00 = 0, и F^' 10 = –F^'
01.

Теперь заметим, что поскольку координаты x² и x³ не меняются, то не меняется и компонента тензора F²³ (она преобразуется так же, как произведение x²x³). По той же причине компоненты F¹², F¹³ и F⁰², F⁰³ преобразуются соответственно как x¹ и x⁰:

$F^{23}=F^{\prime 23} , F^{12}= \frac{\displaystyle F^{\prime 12}+\frac{V}{c}F^{\prime 02}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} , F^{02}=\frac{\displaystyle F^{\prime 02}+\frac{V}{c}F^{\prime 12}} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .$ (23)

И аналогично для компонент F¹³ и F⁰³.

В результате, переписывая это в компонентах тензора F^ik (20), получим преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей E и H:

(24)

(25)

Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство физических величин, — относительны, т.е. их величина (и направление) различаются в разных системах отсчета. В частности, электрическое (или магнитное) поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе. Например, покоящийся электрический заряд создает вокруг себя одно только электрическое поле. Однако, рассматривая этот заряд в движущейся (относительно заряда) системе отсчета, мы замечаем, что поскольку движущийся заряд эквивалентен току, то вокруг него, помимо электрического, должно быть еще и магнитное поле. Это, как мы знаем, действительно имеет место.

Инварианты поля

Пользуясь преобразованиями Лоренца для полей, легко убедиться непосредственно, что имеются две комбинации (квадратичные по полю), инвариантные к преобразованиям от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти инварианты имеют вид

(26)

причем второй инвариант является псевдоскаляром (в нашем обычном 3-х мерном пространстве).

Из инвариантности этих выражений вытекает следующее. Так, если в какой-нибудь системе отсчета вектора E и H перпендикулярны друг другу, т.е. E·H = 0, то они будут перпендикулярны и во всякой другой системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные значения векторов E и H равны друг другу (E²–H² = 0), то они будут одинаковы и в любой другой системе.

TBN.ru - сети, живущие по правилам разработка ТУ. Курсовые. Киев.. профессиональный бухгалтер и курсы