Альберт и его Теория

Общая теория относительности

Теория тяготения

Опыты подтвержд ОТО

Специальная теория относительности

Преобразование скоростей

Мы нашли формулы, связывающие координаты события в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной системе. Теперь давайте найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной точки в одной системе отсчета со скоростью той же точки в другой системе. Пусть опять система K' движется относительно системы K со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. Пусть v_x = dx/dt есть x компонента скорости в системе K, а v_x' = dx'/dt' — компонента скорости той же точки в системе K'.

Будем исходить из преобразований Лоренца для координат и времени

$x = \frac{\displaystyle x' + Vt'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^2/c^2}}, y = y', z = z' , t = \frac{\displaystyle t' + \frac{V}{c^2}x'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^2/c^2}} .$ (1)

Отсюда имеем

$dx = \frac{\displaystyle dx' + Vdt'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^{2}/c^{2}}}, dy = dy', dz = dz' , dt = \frac{\displaystyle dt' + \frac{V}{c^2}dx'} {\sqrt{\displaystyle 1-V^{2}/c^{2}}} .$ (2)

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости

${\bf v} = \frac{d{\bf r}}{dt} , {\bf v}' = \frac{d{\bf r}'}{dt'}$ (3)

находим

$\frac{dx}{dt} = v_x = \frac{dx'+Vdt'}{\displaystyle dt' + \frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_x' + V}{\displaystyle 1+\frac{v_x'V}{c^2}},$ (4)

$\frac{dy}{dt} = v_y = \frac{dy'\sqrt{1-V^2/c^2}} {\displaystyle dt'+\frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_y'\sqrt{1-V^2/c^2}}{\displaystyle 1 + \frac{v_x'V}{c^2}} ,$ (5)

$\frac{dz}{dt} = v_z = \frac{dz'\sqrt{1-V^2/c^2}} {\displaystyle dt'+\frac{V}{c^2}dx'} = \frac{v_z'\sqrt{1-V^2/c^2}}{\displaystyle 1 + \frac{v_x'V}{c^2}} .$ (6)

Формулы (4-6) и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае c→∞ они переходят в известные формулы классической механики:

v_x = v_x'+V, v_y = v_y', v_z = v_z' . (7)

В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем v_x = v, v_y = v_z = 0. Тогда v_y' = v_z' = 0, а v_x' = v', причем

$v=\frac{v'+V}{\displaystyle 1 + \frac{v'V}{c^2}} .$ (8)

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света. Если обозначить

$\frac{v}{c}={\rm th}\varphi , \frac{v'}{c}={\rm th}\varphi' , \frac{V}{c} = {\rm th}\psi ,$ (9)

то правило сложения скоростей запишется в виде

${\rm th}\varphi = \frac{{\rm th}\varphi' + {\rm th}\psi}{1+{\rm th}\varphi'{\rm th}\psi} = {\rm th} (\varphi'+\psi) .$ (10)

Отсюда получаем, что φ = φ' + ψ. Поскольку гиперболический тангенс не может превышать единицу, то всегда $v\le c$ . Знак равенства достигается при v' = c, тогда из (8) следует, что и v = c. Это еще раз подтверждает тот факт, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Опыт Физо

Применим формулу (8) для сложения скоростей к распространению света в жидкости, которая равномерно движется (течет) со скоростью V. Как известно, скорость света относительно неподвижной жидкости равна v' = c/n, где n — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость относительно "неподвижной" системы отсчета. Для этого подставим в формулу (8) v' = c/n и преобразуем, оставляя только члены первого порядка по V/c << 1:

$v=\frac{\displaystyle\frac{c}{n}+V}{\displaystyle 1+\frac{cV}{nc^2}} = \frac{\displaystyle\frac{c}{n}+V}{\displaystyle 1+\frac{V}{nc}} \approx \left(\frac{c}{n}+V \right) \left( 1 - \frac{V}{nc}\right) \approx \frac{c}{n} + V - \frac{\notc}{n} \frac{V}{n\notc} .$ (11)

В итоге мы приходим к результату, что скорость света в движущейся (в направлении распространения света) жидкости равна

$v=\frac{c}{n} + \left(1-\frac{1}{n^2} \right)V .$ (12)

То есть она оказывается больше, чем скорость света в покоящейся жидкости. Жидкость увлекает свет за собой.

Интересно отметить, что эта формула была получена еще Френелем в 1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а лишь частично.

Рис. 1. Опыт Физо.

Эта же формула была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г. Схема его опыта, в трактовке, усовершенствованной Майкельсоном (1886 г.) следующая.

Луч света от источника S раздваивается разделительной пластинкой P. Один луч на рисунке изображен сплошной, а другой пунктирной линией. Затем лучи проходят через трубки, по которым течет вода. Один луч идет в направлении течения, а другой против течения воды. Из-за различия скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся с изменением скорости течения V. Сначала наблюдается интерференция между лучами при неподвижной, а затем при текущей воде. По смещению интерференционных полос можно измерить разность хода, возникающую при течении, а по ней и разность скоростей v–c/n.

TBN.ru - сети, живущие по правилам шины зимняя резина авто шины шины магазин. Агрегаты воздушно-отопительные АВ и АП. платный хостинг php mysql, бесплатный хостинг php без рекламы